二项式教学设计

时间:2024-05-12 10:39:42
二项式教学设计

二项式教学设计

导语:二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续,是排列组合知识的具体运用,定理的证明是计数原理的应用。以下是小编整理的二项式教学设计,欢迎借阅!

  二项式教学设计

一、教学目标

1.知识与技能:

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.

(2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.

2.过程与方法:

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式.

3. 情感、态度与价值观:

培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.

二、教学重点、难点

重点:用计数原理分析(a?b)3的展开式,得到二项式定理.

难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

三、教学过程

(一)提出问题,引入课题

引入:二项式定理研究的是(a?b)n的展开式,如:(a?b)2?a2?2ab?b2,

(a?b)3?? (a?b)4?? (a?b)100?? 那么(a?b)n的展开式是什么?

【设计意图】把问题作为教学的出发点,直接引出课题.激发学生的求知欲,明确本课要解决的问题.

(二)引导探究,发现规律

1、多项式乘法的再认识.

问题1. (a1?a2)(b1?b2)的展开式是什么?展开式有几项?每一项是怎样构成的?

问题2. (a1?a2)(b1?b2)(c1?c2)展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项?

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后续学习作准备. 2、(a?b)3展开式的再认识

探究1:不运算(a?b)3,能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论):

(1) 合并同类项之前展开式有多少项?

(2) 展开式中有哪些不同的项?

(3) 各项的.系数为多少?

(4) 从上述三个问题,你能否得出(a?b)3的展开式?

探究2:仿照上述过程,请你推导(a?b)4的展开式.

【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用计数原理对(a?b)3的展开式进行再思考,分析

n各项的形式、项的个数,这也为推导(a?b)的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有

“法”可依.

(三) 形成定理,说理证明

探究3:仿照上述过程,请你推导(a?b)n的展开式.

0n1n?1kn?kknn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)——— 二项式定理

证明:(a?b)是n个(a?b)相乘,每个(a?b)在相乘时,有两种选择,选a或选b,由分步计数原理

n?kkbk(k?0,1,?n)的形式,对于每一项ab,

它是由k个(a?b)选了b,n-k个(a?b)选了a得到的,它出现的次数相当于从n个(a?b)中取k个n可知展开式共有2项(包括同类项),其中每一项都是ann?k

kb的组合数Cn,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.

【设计意图】通过仿照(a?b)3、(a?b)4展开式的探究方法,由学生类比得出(a?b)n的展开式.二项式定理的证明采用“说理”的方法,从计数原理的角度对展开过程进行分析,概括出项的形式,用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数,从而得出用组合数表示的展开式.

(四) 熟悉定理,简单应用

二项式定理的公式特征:(由学生归纳,让学生熟悉公式)

1. 项数:共有n?1项.

2. 次数:字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n.

各项的次数都等于n.

012knk3. 二项式系数: 依次为Cn,这里Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn(k?0,1,???,n)称为二项式系数.

kn?kk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk?1表示.

kn?kk即通项为展开式的第k?1项: Tk?1=Cnab

变一变 (1)(a?b)n (2)(1?x)n

例. 求(2x?16)的展开式. x

思考1:展开式的第3项的系数是多少?

思考2:展开式的第3项的二项式系数是多少?

思考3:你能否直接求出展开式的第3项?

【设计意图】熟悉二项展开式,培养学生的运算能力.

(五) 课堂小结,课后作业

小结(由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想)

0n1n?1kn?kknn1. 公式: (a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)

2. 思想方法:1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.

作业

巩固型作业:课本36页习题1.3 A组 1、2、3

012kn思维拓展型作业:二项式系数Cn有何性质. ,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn

教案设计说明

二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”,在教学中,采用“问题――探究”的教学模式, 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.让学生体会研究问题的方式方法,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式,让学生体验定理的发现和创造历程.

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.在教学中,设置了对多项式乘法的再认识,引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后面二项展开式的推导作铺垫.再以(a?b)为对象进行探究,引导学生用计数原理进行再思考,分析各项以及项的个数,这也为推导(a?b)的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依.

总之,本节课遵循学生的认识规律,由特殊到一般,由感性到理性.重视学生的参与过程,问题引导,师生互动.重在培养学生观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习惯.

《二项式教学设计.doc》
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